Операция над множествами - это правило, в результате выполнения которого из данных множеств однозначно получается некоторое новое множество.

Обозначим произвольную операцию знаком *. Множество, получаемое из данных множеств А и В, записывают в виде А*В. Полученное множество и саму операцию принято называть одним термином.

Замечание. Для основных числовых операций используют два термина: один обозначает саму операцию как действие, другой - число, получаемое после выполнения действия. Например, операция, обозначаемая +, называется сложением, а число, полученное в результате сложения, - суммой чисел. Аналогично - знак операции умножения, а результат а b - произведение чисел а и Ь. Тем нс менее часто эту разницу нс учитывают и говорят «Рассмотрим сумму чисел», имея в виду не конкретный результат, а саму операцию.

Операция пересечения. Пересечением множеств А и В АглВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит обоим множествам А и В одновременно.

Другими словами, АсВ - это множество всех.г, таких, что хеА и хеВ:

Операция объединения. Объединением множеств А и В называется множество, обозначаемое А"иВ, состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному множеству А или В.

Операцию объединения иногда обозначают знаком + и называют сложением множеств.

Операции разности. Разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое АВ , состоящее из всех объектов, каждый из которых лежит в А, но не лежит В.

Выражение АпВ читают «А в пересечении с В », AkjB- «А в объединении с В», АВ - «А без В».

Пример 7.1.1. Пусть А = {1, 3,4, 5, 8,9}, В = {2,4, 6, 8}.

Тогда AkjB= {1,2, 3,4, 5, 6, 8, 9}, AcB={ 4,8}, АВ = {1,3, 5, 9}, ЯЛ = {2,6}.»

На основе указанных операций можно определить еще две важные операции.

Операция дополнения. Пусть AqS. Тогда разность SA называется дополнением множества А до S и обозначается A s .

Пусть любое рассматриваемое множество является подмножеством некоторого множества U. Дополнение до такого фиксированного (в контексте решения той или иной задачи) множества U обозначают просто А . Также используются обозначения СА, с А, А".

Пример 7.1.2. Дополнение множества {1, 3,4, 5, 8, 9} до множества всех десятичных цифр равно {0, 2, 6, 7}.

Дополнение множества Q до множества R есть множество 1.

Дополнение множества квадратов до множества прямоугольников есть множество всех прямоугольников, имеющих неравные смежные стороны.

Мы видим, что операции объединения, пересечения и дополнения множеств соответствуют логическим операциям дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Операция симметрической разности. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А®В , состоящее из всех объектов, каждый из которых принадлежит в точности одному из множеств А и В:

Нетрудно видеть, что симметрическая разность есть объединение двух множеств АВ и ВА. Это же самое множество можно получить, если вначале объединить множества А и В, а затем убрать из множества общие элементы.

Пример 7.1.3. Пусть даны действительные числа а Тогда для соответствующих числовых промежутков имеем:

Заметим, что так как отрезок [а; Ь] содержит число с> а интервал (с; d) точку с не содержит, го число с лежит в разности [а; Ь] без [с; cf. А вот разность, например, (2;5), число 3 не содержит, так как оно лежит в отрезке . Имеем (2;5)=(2;3).

Пусть даны непересекающиеся множества А и В. Поскольку п - знак операции пересечения, то запись А(ЬВ некорректна. Неправильно также говорить, что у множеств нет пересечения. Пересечение есть всегда, оно определено для любых множеств. То, что множества не пересекаются, означает, что их пересечение пусто (то есть, выполнив указанную операцию, мы получаем пустое множество). Если же множества пересекаются, значит, их пересечение не пусто. Делаем вывод:

Обобщим операции объединения пересечения на случай, когда множеств более двух.

Пусть дана система К множеств. Пересечением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит во всех множествах их К.

Объединением множеств данной системы называется множество всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном множестве их К.

Пусть множества системы К занумерованы элементами какого-то семейства индексов /. Тогда любое множество из К можно обозначить А,-, где iel. Если совокупность конечная, то в качестве / используют множество первых натуральных чисел {1,2,...,и}. В общем случае / может быть бесконечным.

Тогда в общем случае объединение множеств А для всех iel обозначают (J А { , а пересечение - f]A i .

Пусть совокупность К конечная, тогда К= В этом случае

пишут AyjA 2 v...KjA„ и АГ4 2 (^---Г4п-

Пример 7.1.4. Рассмотрим промежутки числовой прямой Л| = [-оо;2], Л 2 =Н°; 3], Л 3 = ?

Решение.

Построим геометрические образы числовых множеств A и B :

Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4) , {−4} , (−4, −2) , {−2} , (−2, 1) , {1} , (1, 3) , {3} , (3, 5) , {5} , (5, +∞) .

Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку.

Очевидно, {−2} входит в множество B (так как точка с координатой −2 является внутренней точкой отрезка [−4, 3]) . Интервал (1, 3) тоже входит в B (над ним есть штриховка). Множество {3} также входит в B (точка с координатой 3 является граничной и невыколотой множества B ). А интервал (3, 5) не входит в числовое множество B (над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид

Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] .

Ответ:

{−2}∪(1, 3] .

Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.

Пример.

Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} .

Решение.

Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) .

Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A , B и D . Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12) и множество {12} . Они и составляют искомое пересечение множеств A , B и D . Имеем A∩B∩D=(−3, 12] .

В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3) (входит в A ), {−3} (входит в A ), (−3, 12) (входит в A ), {12} (входит в A ), (12, 25) (входит в B ), {25} (входит в B ) и {40} (входит в D ). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

Ответ:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.

(10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств.

Ответ:

A∩B∩D∩E=∅.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Цель: Ввести понятие «пересечение» множеств и соответствующие им графические модели в виде кругов Эйлера. Ввести обозначение пересечения множеств.

Повторение, проверка д/з:

Что обозначает слово «множество»?

Что мы называем элементом множества?

Что бывает элементами множества?

Как различают множества по числу элементов?

Какими способами можно задать множество? (перечисление элементов, характеристическое свойство)

Какое свойство называется характеристическим свойством?

Какие множества называются равными?

Какие математические «иероглифы» мы используем для сокращенной записи?

Что такое подмножество?

Что такое круги Эйлера? Зачем они? (Круги Эйлера – геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления)

Что такое объединение множеств? Знак объединения.

Решить упражнение 1, 2, 3. Проверить упражнения 1, 2 из д/з.

Проверить упражнение 3 из д/з (все предложенные варианты решений)

Проверить упражнения из домашнего задания:

Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11} и С = {5; 11}.

Найти: а) А ∪ В; б) А ∪ С; в) С ∪ В.

А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство объединения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.

Решение: А ∪ В - множество четных натуральных чисел или двузначные числа. Примеры 4, 8, 11, 32, 51 и т.д.

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение:Сначала заметим, что из 30 человек (на 1 рисунке – множество В) не умеют петь 30 – 17 (на 1 рисунке – множество А) = 13 человек (на 1 рисунке – заштрихованное множество).

Таким образом, 13 человек не умеют петь. Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек (на 2 рисунке – множество В) , из них 13 (на 2 рисунке – множество А) не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек (на 2 рисунке – заштрихованное множество) .

Упражнение 1: Составить задачу по рисунку:

Упражнение 2: Даны множества: А = {1; 2; 5; 7} и В = {3; 5; 7}. Найти объединение этих множеств.

Решение: А ∪ В = {1; 2; 5; 7; 3}.

Упражнение 3: Даны множества: А = {3, 5, 0, 11, 12, 19}, В = {2, 4, 8, 12, 18, 0}. Найдите множество A U В.

Решение: А ∪ В = { 3, 5, 0, 11, 12, 19, 2, 4, 8, 18}.

Открытие нового знания: ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Как получилось множество «фрукты» на рисунке? (объединение множеств «яблоки» и «груши»)

Как вы думаете, как получилось множество «желтые»? Что входит в это множество, какие элементы?

Верно, желтые груши и желтые яблоки – множество, образованное в результате пересечения множества «яблоки» и множества «груши».

Какие же элементы являются пересечением этих множеств? (общие, одинаковые)

Упражнение 1: Даны два множества А = {1; 2; 5; 7} и В = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Как вы думаете, какие элементы этих множеств будут их пересечением?

Рассмотрите еще один рисунок и попытайтесь составить определение пересечения двух множеств.

Пересечением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех общих (одинаковых) элементов множеств X и Y , т.е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству X , и множеству Y .

Как вы думаете, какое арифметическое действие соответствует пересечению? (умножение, произведение)

Обозначение: X ∩ Y .

Множества удобно изображать в виде кругов Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Как мы будем составлять пересечение двух множеств?

Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству. Те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Упражнение 2: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} и B ={2,4,6,8,10}.

A ∩ B ={2,4,6,8}.

Упражнение 3: Найди пересечение множеств A и B , если A ={2,4,6} и B ={2,4,6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.

Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств.

A ∩ B ={2,4,6,} = А.

Упражнение 4: Найди пересечение множеств A и B , если A ={0,1,2,3,4,5} и B ={6,8,10}. Изобразите решение с помощью кругов Эйлера.

Решение: Найдём общие (одинаковые) элементы множеств. Их нет.

A ∩ B =.

6 –А

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.

Как мы можем найти пересечение трех множеств?

Изобразите при помощи кругов Эйлера объединение трех множеств: А, В и С.

В каком порядке вы их пересекали?

Действительно, результат пересечения множеств не зависит от порядка действий :

Свойства пересечения множеств:

1.Операция пересечения множеств коммутативна: А ∩ В = В ∩ А;

2.Операция пересечения множеств транзитивна: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С);

3. Универсальное множество X является нейтральным элементом операции пересечения множеств: А ∩ Х = А;

4. Операция пересечения множеств идемпотентна: А ∩ А = А;

5. Если - пустое множество, то: А ∩ = .

Подведение итогов урока, рефлексия

Мне больше всего удалось…

Для меня было открытием то, что …

За что ты можешь себя похвалить?

Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

Мои достижения на уроке.

Домашнее задание: конспект, упражнения:

Даны множества: А = {a ; b ; c ; d }, В = {c ; d ; e ; f } и С = {c ; e ; q ; k }.

Найти: (А ∪ В) ∪ С.

А – множество четных натуральных чисел, В – множество двузначных чисел. Составьте характеристическое свойство пересечения этих множеств. Приведите примеры элементов этого множества.

Решение: А ∩ В - множество четных натуральных чисел и двузначных чисел. Примеры 42, 86, 12, 32, 50 и т.д.

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский - 27 учащихся, а два языка - 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?