Урок по теме «Функция y=ax^2, ее график и свойства» изучается в курсе алгебры 9 класса в системе уроков по теме «Функции». Данный урок требует тщательной подготовки. А именно, таких методов и средств обучения, которые дадут поистине хорошие результаты.

Автор данного видеоурока позаботился о том, чтобы помочь учителям при подготовке к урокам по этой теме. Он разработал видеоурок с учетом всех требований. Материал подобран по возрасту школьников. Он не перегружен, но достаточно емок. Автор подробно рассказывает материал, останавливаясь на более важных моментах. Каждый теоретический пункт сопровождается примером, чтобы восприятие учебного материала было гораздо эффективнее и качественнее.

Урок может быть использован учителем на обычном уроке алгебры в 9 классе в качестве определенного этапа урока - объяснение нового материала. Учителю не придется в этот период ничего говорить или рассказывать. Ему достаточно включить этот видеоурок и следить за тем, чтобы обучающиеся внимательно слушали и записывали важные моменты.

Урок может использоваться и школьниками при самостоятельной подготовке к уроку, а также для самообразования.

Длительность урока составляет 8:17 минут. В начале урока автор замечает, что одной из важных функций является квадратичная функция. Затем вводится квадратичная функция с математической точки зрения. Дается ее определение с пояснениями.

Далее автор знакомит обучающихся с областью определения квадратичной функции. На экране появляется правильная математическая запись. После этого автор рассматривает пример квадратичной функции на реальной ситуации: за основу взята физическая задача, где показано, как зависит путь от времени при равноускоренном движении.

После этого автор рассматривает функцию y=3x^2. На экране появляется построение таблицы значений этой функции и функции y=x^2. Согласно данным этих таблиц строятся графики функций. Здесь же в рамке появляется пояснение, как получается график функции y=3x^2 из y=x^2.

Рассмотрев два частных случая, примера функции y=ax^2, автор приходит к правилу, как получается график этой функции из графика y=x^2.

Далее рассматривается функция y=ax^2, где a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Затем из свойств выводятся следствия. Их четыре. Среди них появляется новое понятие - вершины параболы. Далее следует замечание, где говорится, какие преобразования возможны для графика данной функции. После этого говорится о том, как получается график функции y=-f(x) из графика функции y=f(x), а также y=af(x) из y=f(x).

На этом урок, содержащий учебный материал заканчивается. Остается его закрепить, подобрав соответствующие задания в зависимости от способностей обучающихся.

Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с - действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.

Напомним, что ах 2 - это старший член этого квадратного трехчлена, а - его старший коэффициент.

Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.

Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с - любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.

Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 - 6х + 1.

Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 - 6х + 1.

Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.

Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).

На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.

Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.

График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас - b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.

Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.

Возьмем функцию у = -3х 2 - 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).

График функции у = -3х 2 - 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.

Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви - вверх, а если отрицательный, то - вниз.

Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.

И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.

Построим график функции у = 2х 2 - х + 1.

Определяем сразу - графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.

Вершина - (1,5;-3,5). Ось - х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.

Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:

Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;

На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;

Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.

В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х - 5 на отрезке .

По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое - 3, (2;3) - вершина параболы, а х=2 является осью.

Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.

Презентация и урок на тему:
"График функции $y=ax^2+bx+c$. Свойства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Дорофеева Г.В. Пособие к учебнику Никольского С.М.

Ребята, на последних уроках мы строили большое количество графиков, в том числе много парабол. Сегодня мы обобщим полученные знания и научимся строить графики этой функции в самом общем виде.
Давайте рассмотрим квадратный трехчлен $a*x^2+b*x+c$. $а, b, c$ называются коэффициентами. Они могут быть любыми числами, но $а≠0$. $a*x^2$ называется старшим членом, $а$ – старшим коэффициентом. Стоит заметить, что коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равными нулю, то есть трехчлен будет состоять из двух членов, а третий равен нулю.

Давайте рассмотрим функцию $y=a*x^2+b*x+c$. Это функция называется "квадратичной", потому что старшая степень вторая, то есть квадрат. Коэффициенты такие же, как определено выше.

На прошлом уроке в последнем примере, мы разобрали построение графика схожей функции.
Давайте докажем, что любую такую квадратичную функцию можно свести к виду: $y=a(x+l)^2+m$.

График такой функции строится с использованием дополнительной системы координат. В большой математике, числа встречаются довольно редко. Практически любую задачу требуется доказать в самом общем случае. Сегодня мы разберем одно из таких доказательств. Ребята, вы сможете, увидеть всю силу математического аппарата, но так же и его сложность.

Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac{b}{a}*x)+c=$ $=a(x^2+2\frac{b}{2a}*x+\frac{b^2}{4a})-\frac{b^2}{4a}+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$.
Мы получили, то что хотели.
Любую квадратичную функцию можно представить в виде:
$y=a(x+l)^2+m$, где $l=\frac{b}{2a}$, $m=\frac{4ac-b^2}{4a}$.

Для построения графика $y=a(x+l)^2+m$ нужно построить график функции $y=ax^2$. Причем вершина параболы будет находиться в точке с координатами $(-l;m)$.
Итак, наша функция $y=a*x^2+b*x+c$ - парабола.
Осью параболы будет являться прямая $x=-\frac{b}{2a}$, причем координаты вершины параболы по оси абсцисс, как мы можем заметить, вычисляется формулой: $x_{в}=-\frac{b}{2a}$.
Для вычисления координаты вершины параболы по оси ординат, вы можете:

• воспользоваться формулой: $y_{в}=\frac{4ac-b^2}{4a}$,
• напрямую подставить в исходную функцию координату вершины по $х$: $y_{в}=ax_{в}^2+b*x_{в}+c$.

Как вычислять ординату вершины? Опять же выбор за вами, но обычно вторым способом посчитать будет проще.
Если требуется описать какие-то свойства или ответить на какие-то определенные вопросы, не всегда нужно строить график функции. Основные вопросы, на которые можно ответить без построения, рассмотрим в следующем примере.

Пример 1.
Без построения графика функции $y=4x^2-6x-3$ ответьте на следующие вопросы:

Решение.
а) Осью параболы служит прямая $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2*4}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
б) Абсциссу вершины мы нашли выше $x_{в}=\frac{3}{4}$.
Ординату вершины найдем непосредственной подстановкой в исходную функцию:
$y_{в}=4*(\frac{3}{4})^2-6*\frac{3}{4}-3=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{21}{4}$.
в) График, требуемой функции, получится параллельным переносом графика $y=4x^2$. Его ветви смотрят вверх, а значит и ветви параболы исходной функции также будет смотреть вверх.
Вообще, если коэффициент $а>0$, то ветви смотрят вверх, если коэффициент $a
Пример 2.
Построить график функции: $y=2x^2+4x-6$.

Решение.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{4}=-1$.
$y_{в}=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
Отметим координату вершины на оси координат. В этой точке, как будто в новой системе координат построим параболу $y=2x^2$.

Существует множество способов, упрощающих построение графиков параболы.

• Мы можем найти две симметричные точки, вычислить значение функции в этих точках, отметить их на координатной плоскости и соединить их с вершиной кривой, описывающей параболу.
• Мы можем построить ветвь параболы правее или левее вершины и потом ее отразить.
• Мы можем строить по точкам.

Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=-x^2+6x+4$ на отрезке $[-1;6]$.

Решение.
Построим график данной функции, выделим требуемый промежуток и найдем самую нижнюю и самую высокую точки нашего графика.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_{в}=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{-2}=3$.
$y_{в}=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
В точке с координатами $(3;13)$ построим параболу $y=-x^2$. Выделим требуемый промежуток. Самая нижняя точка имеет координату -3, самая высокая точка - координату 13.
$y_{наим}=-3$; $y_{наиб}=13$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Без построения графика функции $y=-3x^2+12x-4$ ответьте на следующие вопросы:
а) Укажите прямую, служащую осью параболы.
б) Найдите координаты вершины.
в) Куда смотрит парабола (вверх или вниз)?
2. Построить график функции: $y=2x^2-6x+2$.
3. Построить график функции: $y=-x^2+8x-4$.
4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: $y=x^2+4x-3$ на отрезке $[-5;2]$.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.